没有 idea

均未参考现有题目。如有雷同，纯属巧合。

#Two Consoles

现在有两个终端 $A$ 和 $B$。你希望在终端中对应地输入字符串 $strA$ 和 $strB$，然而你遇到了一些问题。具体地：

• 你每次可以按下一个键，为某个字母键或者删除键。如果是字母，表示将对应字母追加到终端输入区最后；否则表示删除输入区的最后一个字符（若有）；

• 在任意时刻，你都知道两个终端输入区的内容；

• 你的操作将会以相等的概率发送至一个随机终端中。

现在给定目标字符串，如果以最优策略操作，求输入完成的期望时间。

容易证明期望必然收敛。
考虑以下策略：
直接按顺序输入 $strA$ 和 $strB$，然后检查是否满足要求。若否，则按删除键，直到清空所有内容。重复以上操作直到成功。
期望循环 $2^{|strA| + |strB|}$ 次，每次用时期望也收敛，故期望总时间收敛。

#Refactoring

给定两个等长正整数数组 $A = [a_1, \ldots, a_n], B = [b_1, \ldots, b_n]$。

若 $f(x): f(a_i) = b_i$ 是函数，则是否总可以通过以下构造获得 $f$？

若有，请展示构造方法。

• $add(f, g)(x) = f(x) + g(x)$

• $mod(f, M)(x) = f(x) \mod M$

• $id(x) = x$

#EmexX

可以在 https://www.luogu.com.cn/problem/U292456 测试。

有 $n$ 个相互独立的随机变量 ${\mathit{X}_i}$，均服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的几何分布，求 $E(\operatorname{mex}\{X_i\})$。

附注：若随机变量 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，则 $P(X=k)=(1-p)^{k}p\,\,(k\in \N)$。

记答案为 $f(n)$，则 $f(1) = \frac{1}{2}$，$f(2) = 1$，$f(3) = \frac{23}{16}$。
其实已经有一个朴素做法了，不过也许还有优化的空间