来瓶青柑普洱吧！

一个基于另一种假设（并且十分概率论）的分析：czm233 的概率论大学习

#Prototype

东方树叶搞活动了，形如：

购买本产品，扫描瓶盖内侧二维码，即有机会赢取：

• $666$ 元红包（中奖率 $0.00008\%$）
• $66$ 元红包（中奖率 $0.005\%$）
• $2$ 元红包（中奖率 $0.5\%$）
• $1$ 元红包（中奖率 $1.0\%$）
• $0.5$ 元红包（中奖率 $16.5\%$）
• 壹元换购（中奖率 $25\%$）

按“能换购则换购”的策略，期望单价是多少？

#Problems

现在考虑一个简化版的问题：

某饮料售价为 $c$，有 $a$ 的概率获得 $r$ 元，有 $b$ 的概率可以花 $w$ 元复购。将进行一次购买和若干次 $w$ 元复购记为一轮，现在研究以下问题：

1. 若希望购买 $N$ 瓶，求期望单价

2. 若希望购买 $M$ 轮，求期望单价

#Solution of 1

既然总要买满 $N$ 瓶，那么复购的唯一意义就是降低花费，也就是等价于若购买下一瓶，则获得 $(c-w)$ 元的补贴。故有：

$$\begin{aligned} E_{1,N}(cost) &= \dfrac{(N - 1)(c - ar - b(c - w)) + (c - ar)}{N} = c-ar - \dfrac{b(N-1)(c-w)}{N}\\ E_{1,\infty}(cost) &= c - ar - b(c-w) \end{aligned}$$

#Solution of 2

先考虑一轮购买。假设购得 $1 + k$ 瓶，记此事件为 $A_{k}$：

$$\begin{aligned} Pr(A_k) &= b^k(1-b)\\ E(cost_k) &= c + kw - \dfrac{ar}{1-b} \end{aligned}$$

为了研究方便，为 $Pr(A_k)$ 构造一个生成函数：

$$f(x) = (1-b)\sum_{k=0}^{\infty} (xb)^k = \dfrac{1-b}{1-xb}\\$$

现在假设有 $M$ 轮购买，共购得 $M + p$ 瓶，记此事件为 $B_{p}$。先研究概率，由 $Pr(A_k)$ 构造生成函数可得：

$$\begin{aligned} Pr(B_p) &= [x^p] \left(\dfrac{1-b}{1-xb}\right)^M\\ E(Bcost_p) &= Mc + pw - \dfrac{Mar}{1-b}=Mu+pw(u=c-\dfrac{ar}{1-b})\\ E_{2,M}(cost) &= \sum_{p = 0}^{\infty} Pr(B_p)\dfrac{E(Bcost_p)}{M + p}\\ &= w + M(u-w)\sum_{p = 0}^{\infty} \dfrac{Pr(B_p)}{M + p} \end{aligned}$$

然后等于我不会了。这玩意真有封闭形式吗……求解

先投降了。