在吗？

发表于 2025-05-12 分类于 30.x 独创性研究， 30.1 数学本文字数： 1.3k

#问题背景

莉莉和马克是靠手机消息联系的情侣。他们各自有着不同的生活节奏和看手机的习惯，一天中会在许多不确定的时刻查看手机，并可能在那个时候给对方发去消息。

对莉莉而言，能看到马克的及时回应或主动联系让她感到温暖。她经常拿起手机，看看有没有来自他的新消息。然而，如果她发现，自从她上次放下手机到现在，马克的对话框里一直悄无声息，没有新的信息进来，这种空白会让她感到失落和不确定。这种因“空等”而产生的感受，会随着类似经历的发生而一点点地在她心中累积。

#问题描述

把这个问题形式化建模：

现在有 A B 两个人，会在一段时间内互相发送消息。

A 的发送间隔为 $t_A \sim \text{Exp}(\theta_A)$ ，定义其消息发送时刻为 $T_{A,1}, T_{A,2}, \dots$ ；
B 的发送间隔为 $t_B \sim \text{Exp}(\theta_B)$ ，定义其消息发送时刻为 $T_{B,1}, T_{B,2}, \dots$ ；
怒气机制是：如果 A 在 $T_{A,i}$ 发消息时，发现 B 自上次 $T_{A,i-1}$ 到现在 $T_{A,i}$ 之间没有发任何消息，则怒气值增加 1。

现在，A 在 $T = 0$ 时发送了一条信息。研究这些问题：

对于非负整数 $k$ ，求 A 怒气值达到 $k$ 的时刻 $T_{angry}$ 的分布；
对于非负实数 $T$ ，求 A 在时刻 $T$ 的怒气值 $Anger$ 的分布；

#解答

#第一问

对于 A 和 B 的联合消息过程，可以得到间隔仍服从指数分布，且其参数 $\theta_0 = \theta_A + \theta_B$ 。

现在计算任意一个消息为 A 所发的概率：

$\int_{0}^{\infty} \theta_A e^{-\theta_At}\left(\int_{t}^{\infty} \theta_B e^{-\theta_Bu}\text{d}u\right)\text{d}t = \dfrac{\theta_A}{\theta_A + \theta_B}$

对于任意一条非初始的 A 的消息，其必然存在上一条消息，且它到上一条 A 的消息的间隔满足题述分布，故上述概率计算方法在此仍然适用。所以，对于任意一条非初始 A 消息，它增加怒气值的概率总是 $\dfrac{\theta_A}{\theta_A + \theta_B}$ 。只取增加怒气值的消息作为新的事件，可以得到以下结论：

增加怒气值的消息构成一个速率为 $\lambda = \dfrac{\theta^2_A}{\theta_A + \theta_B}$ 的泊松过程。

此时恰好符合 Gamma 分布的定义：发生 $k$ 次增加怒气值事件对应的时刻 $T_{angry, k}$ 分布为：

$T_{angry, k}\sim\text{Gamma}(k, \lambda)$

$E(T_{angry, k}) = \dfrac{k}{\lambda}$

#第二问

同问题一解答，此时恰好符合泊松分布的定义：

$Anger_T\sim \text{Poisson}(\lambda T)$

$E(Anger_T) = \lambda T$

#扩展

以问题二为例，可以发现期望的怒气值随时间线性增加，系数为 $\lambda = \dfrac{\theta^2_A}{\theta_A + \theta_B}$ 。直接研究增加怒气值的概率以排除消息速率的影响：

对于每一条非初始的 A 的消息，它增加怒气值的概率总是 $\dfrac{\theta_A}{\theta_A + \theta_B}$ 。

不幸的是，随着 $\theta_B$ 的增长，此概率仅仅近似与 $\theta_B$ 成反比，即要减小一半概率，需要近似翻倍 B 发送信息的频率。

我们选择一位研究对象，选择一段连续的活跃时间进行观察，得到 A 发送消息的时间如下：

$[12:50, 13:10, 15:18, 16:09, 17:42, 17:56, 18:35, 19:04, 20:38, 21:14, 22:13, 23:51, 00:22, 01:30]$

以小时为单位计算，估算 $\theta_A = \dfrac{40}{39} \approx 1$ 。

下面采用 julia 进行研究。先绘制 $Anger - T$ 和 $T - Anger$ 的两个分布（图略），再对于 p 和 w 的组合，求 $Pr(Anger_T > wT) < p$ 所需的最小 $\theta_B$ 。

--- Calculating Minimum theta_B ---
theta_A = 1.0, T = 12.0
  For p_i = 0.5000, w_i = 0.08 (M_i = 1): Minimum theta_B is approximately: 6.1499
  For p_i = 0.2500, w_i = 0.08 (M_i = 1): Minimum theta_B is approximately: 11.4834
  For p_i = 0.1000, w_i = 0.08 (M_i = 1): Minimum theta_B is approximately: 21.5644
  For p_i = 0.0500, w_i = 0.08 (M_i = 1): Minimum theta_B is approximately: 32.7684

  For p_i = 0.5000, w_i = 0.17 (M_i = 2): Minimum theta_B is approximately: 3.4876
  For p_i = 0.2500, w_i = 0.17 (M_i = 2): Minimum theta_B is approximately: 5.9473
  For p_i = 0.1000, w_i = 0.17 (M_i = 2): Minimum theta_B is approximately: 9.8886
  For p_i = 0.0500, w_i = 0.17 (M_i = 2): Minimum theta_B is approximately: 13.6755

  For p_i = 0.5000, w_i = 0.33 (M_i = 4): Minimum theta_B is approximately: 1.5691
  For p_i = 0.2500, w_i = 0.33 (M_i = 4): Minimum theta_B is approximately: 2.5623
  For p_i = 0.1000, w_i = 0.33 (M_i = 4): Minimum theta_B is approximately: 3.9330
  For p_i = 0.0500, w_i = 0.33 (M_i = 4): Minimum theta_B is approximately: 5.0909

  For p_i = 0.5000, w_i = 0.50 (M_i = 6): Minimum theta_B is approximately: 0.7992
  For p_i = 0.2500, w_i = 0.50 (M_i = 6): Minimum theta_B is approximately: 1.3610
  For p_i = 0.1000, w_i = 0.50 (M_i = 6): Minimum theta_B is approximately: 2.0811
  For p_i = 0.0500, w_i = 0.50 (M_i = 6): Minimum theta_B is approximately: 2.6526

  For p_i = 0.5000, w_i = 1.00 (M_i = 12): Minimum theta_B is approximately: 0.0000
  For p_i = 0.2500, w_i = 1.00 (M_i = 12): Minimum theta_B is approximately: 0.1514
  For p_i = 0.1000, w_i = 1.00 (M_i = 12): Minimum theta_B is approximately: 0.3879
  For p_i = 0.0500, w_i = 1.00 (M_i = 12): Minimum theta_B is approximately: 0.5606

从数据中，若希望 12h 内怒气值至多加一的概率足够大，需要很大的 $\theta_B$ ，即使是要求此概率达到 $0.5$ 也需要 B 的速率为 A 的六倍。这也符合上文对消息先后的分析。

#致谢

对两道题目的解答和相关代码均使用 Gemini2.5 验证。

其实全是 gemini 写的……

感谢 sharkpretzel 想出来这个奇奇怪怪的问题